Funktion des „Switched Capacitor“ Filters

Oder „Wie ich lernte aus einem Kondensator einen Widerstand zu machen“
von Rudolf Drabek
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Diese
SCF Bauteile gibt es seit den 80er Jahren. Sie sind aber, seit es DSP’s gibt, etwas aus der Mode gekommen. Es handelt sich im Gegensatz zu analogen Filtern um zeitdiskrete Filter mit analog abgetasteter Momentanamplitude, sprich es werden analoge Werte mit 50 oder 100 Zeitpunkten je Periode der Grenzfrequenz des Filters verarbeitet. Ein typ. Produkt ist z.B. das LMF 100 von NS, das sehr komplexe Aufgaben lösen kann. http://www.national.com/mpf/LM/LMF100.html#Overview
Bisher hat mich wenig interessiert, wie das im Detail funktioniert. Man hat ja im Beruf oft nicht die Zeit sich in branchenfremde Technologien einzuarbeiten. Aber ich habe jetzt genug Zeit und bin fasziniert, siehe den Untertitel dieses Berichts. Beginnen wir also einfach, mit einem RC-Tiefpassfilter:
                             




Der Umschalter wird mit fclock umgeschaltet

Jetzt gilt es zu beweisen, dass beide Schaltungen, bis auf die Abtastung, ident sind und die gleiche Tiefpassübertragungsfunktion haben, egal ob die Eingangsspannung eine Wechselspannung oder eine Sprungfunktion (im Fall einer Kondensatorauf-entladung) ist.

Eins noch vorweg: Es fließen keine unendlich hohen Ströme im Umschalter, da jede Quelle einen endlichen Innenwiderstand hat. Es ist nur wichtig zu wissen, dass die Lade- und Entladezeitkonstante etwa 10 mal kleiner ist als die Periodendauer der Clockfrequenz. Das wird nirgendwo erwähnt, ist aber für das Verständnis nicht unwesentlich. Es ist im Datenblatt ein wenig versteckt als max. Clockfrequenz. Bei ~50% Tastverhältnis der Clock muss ja Cs den Endwert der Kondensator-Auf-/Entladung erreichen, was ja, wie bekannt, mit 5 Zeitkonstanten angenommen werden kann. 

Die typischen Werte des Verhältnisses von C / Cs sind 25, 50 oder 100. Wobei die Hersteller versuchen die C’s so klein wie möglich zu machen, da dies Chipfläche = Kosten bedeutet. So ist also Cs nur einige pF groß, nehmen wir Cs=4 pF und C=200 pF an.

Was ist denn eigentlich „Strom“? Na ja, er besteht aus bewegten Elektronen wie wir wissen. Bei Wechselstrom zittern sie nur hin und her. Ein Elektron hat die Elementarladung 1,602x 10-¹9 As oder Coulomb. Fließt also ein Strom von 1A, so bewegt sich jede Sekunde 1 Coulomb, was 1/1,602x 10-¹9  Elektronen entspricht, durch die Leitung oder z.B ein Amperemeter um „es“ anzuzeigen. Ein Strom von 1 picoA sind immer noch über 6 mio Elektronen / Sekunde. Nebenbei sieht man, dass es in der Natur eigentlich nicht richtig analog zugeht, es ist nur die Stufung so klein, dass wir es als „analog“ einordnen. 1A entspricht etwa einer Auflösung von 64 bit! Überraschend, oder? Strom ist also gleichzusetzen mit bewegten Ladungen = Elektronen je Sekunde.Wir kommen jetzt der Sache schon näher. Ladungen können auch in Kondensatoren gespeichert werden. Ein C kann also irgendwo aufgeladen werden und wo anders seine Ladung wieder abgeben.

Verzeihen Sie bitte, wenn ich jetzt das „Wassermodell“ bemühe, aber es passt recht gut. Man kann 2 Gefäße Uin und C über eine Rohrleitung verschiedenenen Durchmessers verbinden. Bei unterschiedlichen Wasserständen wird der Ausgleich bei einer dünnen Leitung länger dauern.

Nehmen wir an, dass 1 l /sec kontinuierlich fließen kann, o.k.

Man kann aber auch alle 10 sec einen Eimer mit 10 l umleeren. Es hat den gleichen Effekt, nur die Wassermenge ist nun eindeutig „zeitdiskretisiert“ im Vergleich zur kontinuierlich arbeiteten Leitung.

So, das war das Prinzip, jetzt wollen wir einmal den „Ersatzwiderstand“  von Cs ausrechnen. Bekannt ist ja die Beziehung  C x U = I x t.  Im Schaltbild links die Quelle mit Ui und rechts der Kondensator C, der die Spannung Uc habe. Der Kondensator Cs nimmt die Spannung Ui an, wenn der Schalter auf links steht und schließlich Uc wenn er rechts steht. Cs speichert oder gibt Ladungen ab, aber die Spannung an Cs kann sich augenscheinlich nur zwischen Ui und Uc bewegen.

Bei einer Umlegung des Schalters von links nach rechts wird also eine bestimmte Ladungsmenge in der Zeit t bewegt. Die Anzahl der Umschaltungen je Sekunde entspricht der Schaltfrequenz fclock.

Die Beziehung ist    fclock = 1 / t              Man kann also die Gleichung umformen in
    Cs (ui – uc) = i / fclock     oder       (ui – uc) / i = 1 /Cs . fclock

Nun, auf der linken Seite der Gleichung steht Spannung/Strom, ist doch das Ohm’sche Gesetz!
    (ui-uc)/i = R     also entspricht  1/Cs . fclock  einem Widerstand

Das war’s schon: Der Äquivalentwiderstand des Kondensators Cs  ist  also R  = 1/Cs . fclock . Man sieht sofort, dass der Widerstand frequenzabhängig ist. Je höher die Clockfrequenz umso kleiner der Widerstand. Logisch es werden ja mehr Ladungen transportiert, d.h mehr Eimer umgeleert.             
Ein typ. Wert: Cs=4 pF und fclock =100 kHz  Räquiv = 2.5 MOhm

Der Kondensator Cs hat also nur zusammen mit dem Umschalter die Wirkung eines Widerstandes.
Gehen wir nun zum Tiefpass zurück: Es ist bekannt die Grenzfrequenz mit fg = 1/2Pi RC                                
Für R setzen wir den Äquivalentwiderstand   fg = fclock Cs/C /2Pi
Man kann also die Grenzfrequenz des Tiefpasses mit der Clockfrequenz verändern. Wichtig für die IC Hersteller ist noch, dass in der Formel das Verhältnis von Cs zu C steht. Man kann im Herstellungsprozeß die Kapazität nie genau hinbekommen, aber wohl das Verhältnis sehr genau einhalten. Es kommt, wie gezeigt, nur auf das Verhältnis an und im aktuellen Fall mit 4 pF und 200pF ist die Grenzfrequenz des Filters immer 50 mal kleiner als die Clockfrequenz.
Dieses leichte Ändern der Filterkennwerte ist  u.a. ein großer Vorteil der SwitchedCapacitorFilter.

Es folgt noch ein Diagramm mit der Kondensatoraufladung Ui ändert sich von 0 auf 1V und die Spannung an C ist die bekannte Exponentialkurve. Einmal analog und dann zeitdiskret gerechnet. Die zeitdiskrete Variante lässt sich mit Grundschulmathematik berechnen! Dies tritt auf bei einem Rechtecksignal als Eingangsspannung.

Noch schnell eine Quizfrage: Was passiert, wenn bei der Schaltung mit dem echten Widerstand dieser noch zusätzlich mit einem Schalter, mit variablen ein/aus Verhältnis Ui und C verbindet? Ändert sich dann auch die Filtergrenzfrequenz ? Ist es dann vielleicht ein SRF ?
 


Man sieht die Identität der analogen RC-Glied Aufladung und der zeitdiskreten „Eimervariante“, sprich SwitchedCapacitorFilter. Die Zeitachse endet bei 2 Zeitkonstanten. Die Diagrammfunktion von Excel lässt es leider nicht zu die stufenförmige Aufladekurve darzustellen, oder ich hab’s nicht gefunden wie es geht, bzw. die vielen Punkte der Kurve lassen sich mit der Strichstärke nicht mehr darstellen.
Ich hoffe es hat Sie interessiert und sie haben einen kleinen Einblick in diese Technologie gewonnen.

Download: Tabellenblatt SCF.XLS


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